Question

“天府立交”是成都重要的南門出城通道，成都一高校對(duì)其進(jìn)行調(diào)研情況如下，橋上的車流速度υ（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度0＜x≤20時(shí)，車流速度υ=60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度υ是車流密度x的一次函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤200，求函數(shù)υ（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）當(dāng)車流密度為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）f （x）=x•υ（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（最終運(yùn)算結(jié)果精確到1輛/小時(shí)，按照取整處理，例如[100.1]=[100.9]=100）．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式得出即可；
（2）分別利用當(dāng)0≤x≤20時(shí)y=60x，當(dāng)20＜x≤200時(shí)y=x•v=-

1

3

x²+

200

3

x，求出一次函數(shù)以及二次函數(shù)最值即可．

解答： 解：（1）設(shè)v=kx+b，把（20，60）（200，0）代入得：

60=20k+b 0=200k+b

，
解得k=-

1

3

，b=

200

3

．
當(dāng)20≤x≤200時(shí)大橋上的車流速度v與車流密度x的函數(shù)關(guān)系式為：v=-

1

3

x+

200

3

；
（2）當(dāng)0≤x≤20時(shí)y=60x  當(dāng)x=20時(shí)y最大為1200輛； 
當(dāng)20＜x≤200時(shí)y=x•v=-

1

3

x²+

200

3

x 
=-

1

3

（x-100）²+

10000

3

，
當(dāng)x=100時(shí)，y最大為3333輛．
因?yàn)?333＞1200，所以當(dāng)x=100時(shí)，y最大為3333輛．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)應(yīng)用，利用一次函數(shù)增減性以及配方法求出二次函數(shù)最值是解題關(guān)鍵．