Question

若存在實(shí)數(shù)x∈[

1

3

，2]滿足2x＞a-

2

x

，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：存在實(shí)數(shù)x∈[

1

3

，2]滿足2x＞a-

2

x

?a＜(2x+

2

x

)max，實(shí)數(shù)x∈[

1

3

，2]．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）=2x+

2

x

的單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：∵存在實(shí)數(shù)x∈[

1

3

，2]滿足2x＞a-

2

x

，
即2x+

2

x

＞a，存在實(shí)數(shù)x∈[

1

3

，2]．
∴a＜(2x+

2

x

)max．
令f（x）=2x+

2

x

，實(shí)數(shù)x∈[

1

3

，2]．
f′(x)=2-

2

x2

=

2(x+1)(x-1)

x2

，
當(dāng)x∈[

1

3

，1)時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
又f(

1

3

)=2×

1

3

+

2

1 3

=

20

3

，f（2）=2×2+

2

2

=5＜

20

3

．
因此函數(shù)f（x）的最大值為

20

3

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是：a＜

20

3

．
故答案為：(-∞，

20

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、存在型恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．