【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=emxx2mx.

(1)證明:f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增;

(2)若對于任意x1x2∈[-1,1],都有,求m的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),再根據(jù)m正負以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論得導(dǎo)函數(shù)符號(2)先利用最值轉(zhuǎn)化不等式恒成立得f(x)最大值與最小值的差不大于e-1,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,解對應(yīng)不等式得m的取值范圍.

試題解析:(1)f′(x)=m(emx-1)+2x.

m≥0,則當x∈(-∞,0)時,emx-1≤0,f′(x)<0;

x∈(0,+∞)時,emx-1≥0,f′(x)>0.

m<0,則當x∈(-∞,0)時,emx-1>0,f′(x)<0;

x∈(0,+∞)時,emx-1<0,f′(x)>0.

所以,f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增.

(2)由(1)知,對任意的m,f(x)在[-1,0]單調(diào)遞減,在[0,1]單調(diào)遞增,故f(x)在x=0處取得最小值.所以對于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要條件是

設(shè)函數(shù)g(t)=ett-e+1,則g′(t)=et-1.

t<0時,g′(t)<0;當t>0時,g′(t)>0.故g(t)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增.

g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故當t∈[-1,1]時,g(t)≤0.

m∈[-1,1]時,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;

m>1時,由g(t)的單調(diào)性,g(m)>0,即emm>e-1;

m<-1時,g(-m)>0,即emm>e-1.

綜上,m的取值范圍是[-1,1].

練習冊系列答案
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【題目】某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取40名學(xué)生,將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(滿分100分,成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中前三段的頻率成等比數(shù)列.

(Ⅰ)求圖中實數(shù)a,b的值;

(Ⅱ)若該校高一年級共有學(xué)生640人,試估計該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于80分的人數(shù);

(Ⅲ)若從樣本中數(shù)學(xué)成績在[40,50)與[90,100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機選取兩名學(xué)生,求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的概率.

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(1)請根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表,并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關(guān)?

(2)在[0,10),[40,50)這兩組中采取分層抽樣,抽取6人,再從這6名學(xué)生中隨機抽取2人參加體育知識問卷調(diào)查,求這2人中一人來自“課外體育達標”和一人來自“課外體育不達標”的概率.

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