【題目】給定公差大于0的有限正整數(shù)等差數(shù)列,其中,為質(zhì)數(shù)甲、乙兩人輪流從個(gè)石子中取石子,規(guī)定每次每人可取個(gè)石子,取走的石子不再放回,甲先取取到最后一個(gè)石子者為勝試問(wèn)誰(shuí)有必勝策略?

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

設(shè),其中,

,

那么當(dāng)時(shí),乙有必勝策略當(dāng)時(shí),甲有必勝策略當(dāng)時(shí),兩人都有不輸?shù)牟呗?/span>

證明如下

(1)當(dāng)時(shí),乙的策略為若甲取個(gè)石子,則由等差數(shù)列的性質(zhì),存在,使,乙取個(gè)石子這樣乙每次都保證他取后剩下的石子數(shù)模余0,這使得甲每次都不能使他取后剩下的石子數(shù)模余0,從而甲無(wú)法取到最后一個(gè)石子又每次操作,甲、乙合起來(lái)共取個(gè)石子,的倍數(shù),若干次操作后,石子全部取走乙可取到最后一個(gè)石子故乙獲勝

(2)當(dāng)時(shí),甲的策略為先取走個(gè)石子,則剩下的石子數(shù)模余0轉(zhuǎn)化為前面的情形(1),故甲獲勝

(3)當(dāng)時(shí),證明兩人都有不輸?shù)牟呗?/span>

由于考察模數(shù)列

因?yàn)?/span>的各項(xiàng)互不相同,所以的各項(xiàng)互不相同由此可以斷言的各項(xiàng)不能都屬于

否則,的一個(gè)排列,所以,

,

可得

因?yàn)?/span>為質(zhì)數(shù),所以

,,矛盾,所以,中至少有一項(xiàng),設(shè)為它不屬于又由可知,

從而

由此可見(jiàn),甲可取個(gè)石子,使剩下的石子數(shù)模的余數(shù)仍屬于,下一次操作無(wú)法取走所有石子

類(lèi)似地,乙也有同樣的策略直至無(wú)法取出石子,游戲終止

于是,兩人都有不輸?shù)牟呗?/span>

練習(xí)冊(cè)系列答案
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物理成績(jī)的學(xué)生數(shù)

物理成績(jī)的學(xué)生數(shù)

合計(jì)

合計(jì)

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