已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)的一條漸近線方程是y=
1
2
x，它的一個焦點在拋物線y2=4
5
x的準線上，點A（x1，y1），B（x2，y2）是雙曲線C右支上相異兩點，且滿足x1+x2=6，D為線段AB的中點，直線AB的斜率為k．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）用k表示點D的坐標；
（Ⅲ）若k＞0，AB的中垂線交x軸于點M，直線AB交x軸于點N，求△DMN的面積的取值范圍．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由題設條件推導出
b
a
=
1
2
，
a2+b2
=
5
，由此能求出雙曲線C的方程．
（Ⅱ）法一：設直線AB的方程為y=kx+d，k≠±
1
2
，k≠0，代入方程
x2
4
-y2=1(x≥2)，得（4k2-1）x2+8kdx+4（d2+1）=0，用根的判別式和韋達定理求出D(3，
3
4k
)，由此能求出k的取值范圍．
法二：利用點差法求出D(3，
3
4k
)，由此能求出k的取值范圍．
（Ⅲ）方程y=kx+
3(1-4k2)
4k
中，令y=0，得xN=3-
3
4k2
，由已知條件求出M(
15
4
，0)，由此能求出△DMN的面積的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)的一條漸近線方程是y=
1
2
x，
它的一個焦點在拋物線y2=4
5
x的準線上，
∴
b
a
=
1
2
，
a2+b2
=
5
，
解得a=2，b=1，
∴雙曲線C的方程為
x2
4
-y2=1．…（3分）
（Ⅱ）解法一：設直線AB的方程為y=kx+d，k≠±
1
2
，k≠0，
代入方程
x2
4
-y2=1(x≥2)，
得（4k2-1）x2+8kdx+4（d2+1）=0，
當△＞0時記兩個實數(shù)根為x1，x2，
則x1+x2=
8kd
1-4k2
=6，x1x2=
4(d2+1)
4k2-1
＞0，
∴d=
3(1-4k2)
4k
，
∴AB的方程為y=kx+
3(1-4k2)
4k
，
把x=3代入得yD=
3
4k
，∴D(3，
3
4k
)，…（6分）
下求k的取值范圍：法一：由△＞0，得d2+1-4k2＞0，
即
9(1-4k2)2
16k2
+1-4k2＞0，
而1-4k2＜0，所以
9(1-4k2)
16k2
+1＜0，化簡得|k|＞
3
5
10
；…（7分）
法二：在
x2
4
-y2=1中令x=3，得y2=
5
4
，∴|yD|＜
5
2
，
即|
3
4k
|＜
5
2
，所以|k|＞
3
5
10
，
再結合|k|＞
1
2
，得|k|＞
3
5
10
．…（7分）
（Ⅱ）解法二：
x
2
1
=4
y
2
1
+4， 
x
2
2
=4
y
2
2
+4，
兩式相減得6（x1-x2）=8yD•（y1-y2），
∵k=
y1-y2
x1-x2
，∴yD=
3
4k
，∴D(3，
3
4k
)，…（6分）
下求k的取值范圍：法一：由△＞0，得d2+1-4k2＞0，
即
9(1-4k2)2
16k2
+1-4k2＞0，
而1-4k2＜0，所以
9(1-4k2)
16k2
+1＜0，化簡得|k|＞
3
5
10
；…（7分）
法二：在
x2
4
-y2=1中令x=3，得y2=
5
4
，∴|yD|＜
5
2
，
即|
3
4k
|＜
5
2
，所以|k|＞
3
5
10
，
再結合|k|＞
1
2
，得|k|＞
3
5
10
．…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知方程y=kx+
3(1-4k2)
4k
中，
令y=0，得xN=3-
3
4k2
，
設點M的坐標為（m，0），由kMD=-
1
k
，得m=
15
4
，
∴M(
15
4
，0)，∴|MN|=|xM-xN|=
3
4
(1+
1
k2
)，
∴S△DMN=
1
2
•
3
4
(1+
1
k2
)•
3
4k
=
9
32
(1+
1
k2
)
1
k
，…（9分）
∵k＞0，∴k＞
3
5
10
，
∴0＜
1
k
＜
2
5
3
，∴S△DMN∈(0，
29
5
48
)．…（11分）
點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查點的坐標的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，解題時要熟練掌握圓錐曲線的簡單性質(zhì)，注意等價轉化思想的合理運用．
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函數(shù)f（x）=-x2+2x，x∈[-1，3]，則任取一點x0∈[-1，3]，使得f（x0）≥0的概率為
 
．

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如圖，長方形的面積為2，將100顆豆子隨機地撒在長方形內(nèi)，其中恰好有60顆豆子落在陰影部分內(nèi)，則用隨機摸擬的方法可以估計圖中陰影部分的面積為（　�。�
A、
2
3
B、
4
5
C、
6
5
D、
4
3

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如圖所示，一游泳者自游泳池邊AB上的D點，沿DC方向游了10米，∠CDB=60°，然后任意選擇一個方向并沿此方向繼續(xù)游，則他再游不超過10米就能夠回到游泳池AB邊的概率是（　�。�
A、
1
6
B、
1
4
C、
1
3
D、
1
2

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從1，2，3，…n中這n個數(shù)中取m（m，n∈N*，3≤m≤n）個數(shù)組成遞增等差數(shù)列，所有可能的遞增等差數(shù)列的個數(shù)記為f（n，m）．
（Ⅰ）當n=5，m=3時，寫出所有可能的遞增等差數(shù)列及f（5，3）的值；
（Ⅱ）求f（100，10）；
（Ⅲ）求證：f（n，m）＞
(n-m)(n+1)
2(m-1)
．

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一個袋子中裝有7個小球，其中紅球4個，編號分別為1，2，3，4，黃球3個，編號分別為2，4，6，從袋子中任取4個小球（假設取到任一小球的可能性相等）．
（Ⅰ）求取出的小球中有相同編號的概率；
（Ⅱ）記取出的小球的最大編號為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

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隨機抽取某中學高一級學生的一次數(shù)學統(tǒng)測成績得到一樣本，其分組區(qū)間和頻數(shù)是：[50，60），2；[60，70），7；[70，80），10；[80，90），x；[90，100]，2．其頻率分布直方圖受到破壞，可見部分如圖所示，據(jù)此解答如下問題．
（1）求樣本的人數(shù)及x的值；
（2）估計樣本的眾數(shù)，并計算頻率分布直方圖中[80，90）的矩形的高；
（3）從成績不低于80分的樣本中隨機選取2人，該2人中成績在90分以上（含90分）的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知復數(shù)3m+5+（1-m）i（i是虛數(shù)單位）對應的點在二、四象限的角平分線上，則實數(shù)m=
 
．

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如圖，圓O與直線x+
3
y+2=0相切于點P，與x正半軸交于點A，與直線y=
3
x在第一象限的交點為B．點C為圓O上任一點，且滿足
OC
=x
OA
+y
OB
，動點D（x，y）的軌跡記為曲線Γ．
（1）求圓O的方程及曲線Γ的軌跡方程；
（2）若直線y=x和y=-x分別交曲線Γ于點A、C和B、D，求四邊形ABCD的周長；
（3）已知曲線Γ為橢圓，寫出橢圓Γ的對稱軸、頂點坐標、范圍和焦點坐標．

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