Question

某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1，2，…，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)．
（Ⅰ）已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X₁的概率分布列如表所示：

X1	5	6	7	8
P	0.4	a	b	0.1

且X₁的數(shù)學(xué)期望EX₁=6，求a，b的值；
（Ⅱ）為分析乙廠產(chǎn)品，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下：
3   5   4   6   8   5   5   6   3   4，從這10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取兩件（不放回抽樣），求這兩件產(chǎn)品中符合標(biāo)準(zhǔn)A的產(chǎn)品數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出0.4+a+b+0.1=1，5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，由此能求出a和b．
（Ⅱ）由題意知ξ的所有可能取值為0，1，2，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）由甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X₁的概率分布列，知：
0.4+a+b+0.1=1，
∵EX₁=6，∴5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，
解得a=0.3，b=0.2．
（Ⅱ）由題意知ξ的所有可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 10

=

2

15

，
P（ξ=1）=

C 1 6 C 1 4

C 2 10

=

8

15

，
P（ξ=2）=

C 2 6

C 2 10

=

1

3

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	2 15	8 15	1 3

∴Eξ=0×

2

15

+1×

8

15

+2×

1

3

=

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．