Question

如圖，已知定點F及定直線l，直線m經(jīng)過F與l垂直，垂足為K，|FK|=p（p＞0），動圓P經(jīng)過F與l相切．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出動圓圓心P軌跡C的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點F的直線交（Ⅰ）中軌跡C于A、B兩點，點C在直線l上，且BC⊥l．試問，直線AC與m的交點是否在軌跡C上？若不在，請說明理由；若在，請給予證明．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出P點軌跡是以F為焦點，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，以直線m為x軸，KF的垂直平行線為y軸建立直角坐標(biāo)系，能求出動圓圓心P軌跡C的方程．
（Ⅱ）經(jīng)過點F的直線AB的方程設(shè)為x=my+

p

2

，代入拋物線方程得y²-2pmy-p²=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線AC與m的交點在軌跡C上．

解答： （Ⅰ）解：∵動圓P經(jīng)過F與l相切，
∴P到F及l(fā)的距離相等，
∴P點軌跡是以F為焦點，直線l為準(zhǔn)線的拋物線．（2分）
以直線m為x軸，KF的垂直平行線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
∴動圓圓心P軌跡C的方程是y²=2px（p＞0）．（4分）
（Ⅱ）解：∵拋物線的焦點為F（

p

2

，0），準(zhǔn)線l：x=-

p

2

∴經(jīng)過點F的直線AB的方程設(shè)為x=my+

p

2

，
代入拋物線方程得y²-2pmy-p²=0．（6分）
若記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁，y₂是該方程的兩個根，
∴y1y2=-p2．…（8分）
∵BC∥x軸，且點C在準(zhǔn)線x=-

p

2

上，
∴點C的坐標(biāo)為(-

p

2

，y2)，
∴直線CO的斜率為k=

y2

- p 2

=

2p

y1

=

y1

x1

，
∴k也是直線OA的斜率，
∴直線AC經(jīng)過原點O，又∵拋物線經(jīng)過原點，
∴直線AC與m的交點在軌跡C上．…（12分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查兩直線的交點是否在拋物線在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意拋物線定義和簡單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．