Question

在△ABC中，已知內(nèi)角A=

π

3

，邊BC=2

3

．設(shè)內(nèi)角B=x，面積為y．
（1）若x=

π

4

，求邊AC的長；
（2）求y的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由條件利用正弦定理可得

AC

sinB

=

BC

sinA

，由此求得AC的值．
（2）由三角形內(nèi)家和公式可得0＜B＜

2π

3

，由正弦定理可得AC=4sinx，求得y=2

3

sin（2x-

π

6

）+

3

．再由-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得y的最大值．

解答： 解：（1）△ABC中，已知內(nèi)角A=

π

3

，邊BC=2

3

，內(nèi)角B=x，
故由正弦定理可得

AC

sinB

=

BC

sinA

，即

AC

sin π 4

=

2 3

sin π 3

，解得AC=2

2

．
（2）由三角形內(nèi)家和公式可得0＜B＜

2π

3

，由正弦定理可得AC=4sinx，
∴y=

1

2

•AC•BC•sinC=4

3

sinx•sin（

2π

3

-x）=4

3

sinx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）
6sinxcosx+2

3

sin²x=2

3

sin（2x-

π

6

）+

3

．
再由-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

，可得當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

時，y取得最大值為2

3

+

3

=3

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理，兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．