Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=a（x+1）²ln（x+1）+bx（x＞-1），曲線y=f（x）過點(diǎn)（e-1，e²-e+1），且在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x²；
（Ⅲ）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥mx²恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x）．利用f′（0）=a+b=0，f（e-1）=e²-e+1，即可求解a，b．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²，（x≥0），求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的判斷函數(shù)的單調(diào)性，推出g（x）≥g（0）=0．推出結(jié)果f（x）≥x²．
（Ⅲ）設(shè)h（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-mx²，求出導(dǎo)函數(shù)h′（x），利用（Ⅱ） 中的結(jié)果，通過討論m的范圍，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，∵f′（0）=a+b=0，f（e-1）=ae²+b（e-1）=a（e²-e+1）=e²-e+1∴a=1，b=-1．                   …（4分）
（Ⅱ）f（x）=（x+1）²ln（x+1）-x，
設(shè)g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²，（x≥0），g′（x）=2（x+1）ln（x+1）-x，
（g′（x））′=2ln（x+1）+1＞0，∴g′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g′（x）≥g′（0）=0，∴g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（0）=0．∴f（x）≥x²．…（8分）
（Ⅲ）設(shè)h（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-mx²，h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+x-2mx，
（Ⅱ） 中知（x+1）²ln（x+1）≥x²+x=x（x+1），∴（x+1）ln（x+1）≥x，∴h′（x）≥3x-2mx，
①當(dāng)3-2m≥0即$m≤\frac{3}{2}$時(shí)，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（0）=0，成立．
②當(dāng)3-2m＜0即$m＞\frac{3}{2}$時(shí)，h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+（1-2m）x，h′′（x）=2ln（x+1）+3-2m，令h′′（x）=0，得${x_0}={e^{\frac{2m-3}{2}}}-1＞0$，
當(dāng)x∈[0，x₀）時(shí)，h′（x）＜h′（0）=0，∴h（x）在[0，x₀）上單調(diào)遞減，
∴h（x）＜h（0）=0，不成立．
綜上，$m≤\frac{3}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．