Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-a，n∈N^*．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{b_n}滿足：b₁=a₁+2，且b₂+5，b₄+5，b₈+5成等比．
（Ⅰ） 求a及b_n；
（Ⅱ） 設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n．求使T_n＞b_n的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ） 當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2-a．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．由此能求出an=2n-1．設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，由b₁=3，（b₄+5）²=（b₂+5）（b₈+5），得（8+3d）²=（8+d）（8+7d），由此能求出b_n=8n-5．
（Ⅱ）由an=2n-1，知log

2

an=2（n-1），故T_n=n（n-1），由此能求出使T_n＞b_n的最小正整數(shù)n的值．

解答： 解：（Ⅰ） 當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2-a．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．
所以1=2-a，得a=1，
∴an=2n-1．
設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，
由b₁=3，（b₄+5）²=（b₂+5）（b₈+5），得（8+3d）²=（8+d）（8+7d），
故d=0（舍去）或d=8．
所以a=1，b_n=8n-5，n∈N^*．…（7分）
（Ⅱ）由an=2n-1，知log

2

an=2（n-1），
∴T_n=n（n-1），
由b_n=8n-5，T_n＞b_n，得n²-9n+5＞0，
∴n∈N^*，∴n≥9．
所以，所求的n的最小值為9．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查等差、等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式及求和公式等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)算求解能力．