Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且y=

f(x)

x

在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求證：任意x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（2）若f（x）有零點(diǎn)，求證：f（x）＞2014有解．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明任意x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（2）設(shè)f（x₀）=0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： （1）∵?x₁，x₂∈（0，+∞），
有x₁＜x₁+x₂，x₂＜x₁+x₂，
∵y=

f(x)

x

在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，

f(x2)

x2

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，
即f（x₁）＜x₁•

f(x1+x2)

x1+x2

，f（x₂）＜x₂•

f(x1+x2)

x1+x2

，
則f（x₁）+f（x₂）＜x₁•

f(x1+x2)

x1+x2

+x₂•

f(x1+x2)

x1+x2

=（x₁+x₂）•

f(x1+x2)

x1+x2

=f（x₁+x₂）；
故f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立．
（2）若f（x）有零點(diǎn)，設(shè)f（x₀）=0，其中x₀＞0．
∵y=

f(x)

x

在（0，+∞）上為增函數(shù)．
∴當(dāng)x＞x₀時(shí)，

f(x)

x

＞

f(x0)

x0

=0．
取t∈（0，+∞），滿足f（t）＞0，記

f(t)

t

=k．
∵當(dāng)x＞t時(shí)，

f(x)

x

＞

f(t)

t

=k．
∴f（x）＞kx對(duì)x＞t成立．
只要x＞

2014

k

，則有f（x）＞kx＞2014，
即f（x）＞2014 一定有解．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法是解決本題的關(guān)鍵．