Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C中，AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA₁，E、F分別是棱BC、CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面AA₁ C₁C；
（Ⅱ）若線段AC上的點(diǎn)D滿足平面DEF∥平面ABC₁，試確定點(diǎn)D的位置，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）證明：EF⊥A₁C．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）由線面垂直得A₁A⊥AB，再由AB⊥AC，能證明AB⊥面A₁CC₁．
（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中點(diǎn)，推導(dǎo)出D是線段AC的中點(diǎn)．
（III）由已知條件推導(dǎo)出A₁C⊥AC₁，AB⊥A₁C，從而得到A₁C⊥面ABC₁，由此能證明EF⊥AC₁．

解答： （I）證明：∵AA₁⊥底面ABC，∴A₁A⊥AB，（2分）
∵AB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴AB⊥面A₁CC₁．（4分）
（II）解：∵面DEF∥面ABC₁，面ABC∩面DEF=DE，
面ABC∩面ABC₁=AB，
∴AB∥DE，（7分）
∵在△ABC中，E是棱BC的中點(diǎn)，
∴D是線段AC的中點(diǎn)．（8分）
（III）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AC，
∴側(cè)面A₁ACC₁是菱形，
∴A₁C⊥AC₁，（9分）
由（Ⅰ）得AB⊥A₁C，
∵AB∩AC₁=A，
∴A₁C⊥面ABC₁，（11分）
∴A₁C⊥BC₁．（12分）
又∵E，F(xiàn)分別為棱BC，CC₁的中點(diǎn)，
∴EF∥BC₁，（13分）
∴EF⊥AC₁．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點(diǎn)的位置的確定，考查異面直線垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．