Question

如圖甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC=PB=2CD，A是PB的中點(diǎn)．現(xiàn)沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如圖乙所示），E、F分別為BC、AB邊的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P-ED-F的正切值大小 
（Ⅲ）在PA上找一點(diǎn)G，使得FG∥平面PDE．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件得PA⊥AD，PA⊥AB，由此能證明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出∠PEA是二面角的平面角，由此能求出二面角P-ED-F的正切值大�。�
（Ⅲ）過點(diǎn)F作FH∥ED，交AD于H，再過H作GH∥PD，交PA于G，連結(jié)FG，再分別取AD、PA的中點(diǎn)M，N，連結(jié)BM、MN，由題意知H是AM中點(diǎn)，G是AN中點(diǎn)，從而當(dāng)點(diǎn)G滿足AG=

1

4

AP時，有FG∥平面PDE．

解答： （Ⅰ）證明：∵在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，
BC=PB=2CD，A是PB的中點(diǎn)，
∴PA⊥AD，
又∵PA⊥AB，AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵BC=PB=2CD，A是PB的中點(diǎn)，
∴ABCD是矩形，又E為BC邊中點(diǎn)，
∴AE⊥ED，又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥ED，且PA∩AE=A，
∴ED⊥平面PAE，∴ED⊥PE，
∴∠PEA是二面角的平面角，
∵PA=AB=DC，AE=

2

PA，
∴tan∠PEA=

2

2

．
∴二面角P-ED-F的正切值為

2

2

．
（Ⅲ）解：過點(diǎn)F作FH∥ED，交AD于H，
再過H作GH∥PD，交PA于G，連結(jié)FG，
由FH∥ED，ED?平面PED，得FH∥平面PED，
由GH∥PD，PD?平面PED，得GH∥平面PED，
又FH∩GH=H，∴平面FHG∥平面PED，
再分別取AD、PA的中點(diǎn)M，N，連結(jié)BM、MN，
由題意知H是AM中點(diǎn)，G是AN中點(diǎn)，
從而當(dāng)點(diǎn)G滿足AG=

1

4

AP時，有FG∥平面PDE．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．