【題目】已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別作拋物線的切線，若兩條切線互相垂直且交于點(diǎn).

（1）證明：直線恒過定點(diǎn)；

（2）若直線的斜率為1，求點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）由得，利用導(dǎo)數(shù)可得直線的斜率為，直線的斜率為，結(jié)合，可得，即，從而利用韋達(dá)定理可得，則直線恒過定點(diǎn)；（2）求出直線的方程為，直線的方程為，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，結(jié)合（1）利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.

（1）證明：易知直線的斜率存在，設(shè)直線，，.

由得，

所以，.

由，得，所以，

所以直線的斜率為，直線的斜率為.

因?yàn)?/span>，所以，即，

所以，得，

所以直線，故直線恒過定點(diǎn).

（2）由（1）得直線的斜率為1時，，.

直線的方程為，即，

同理直線的方程為，即，

上面兩式聯(lián)立得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將所有的正奇數(shù)按以下規(guī)律分組，第一組：1；第二組：3，5，7；第三組：9，11，13，15，17；… 表示n是第i組的第j個數(shù)，例如，，則（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的是( )

A. “f(0)”是“函數(shù)f（x）是奇函數(shù)”的充要條件

B. 若p：，，則：，

C. “若，則”的否命題是“若，則”

D. 若為假命題，則p，q均為假命題

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地某高中2018年的高考考生人數(shù)是2015年高考考生人數(shù)的1.5倍.為了更好地對比該校考生的升學(xué)情況，統(tǒng)計了該校2015和2018年高考情況，得到如下餅圖：

2018年與2015年比較，下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 一本達(dá)線人數(shù)減少

B. 二本達(dá)線人數(shù)增加了0.5倍

C. 藝體達(dá)線人數(shù)相同

D. 不上線的人數(shù)有所增加

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年反映社會現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動，治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急．為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用（百萬元）和銷量（萬盒）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

研發(fā)費(fèi)用（百萬元）

2

3

6

10

13

15

18

21

銷量（萬盒）

1

1

2

2.5

3.5

3.5

4.5

6

（1）求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01，并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合？（規(guī)定：時，可用線性回歸方程模型擬合）；

（2）該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型，，，并對其進(jìn)行兩次檢測，當(dāng)?shù)谝淮螜z測合格后，才能進(jìn)行第二次檢測．第一次檢測時，三類劑型，，合格的概率分別為，，，第二次檢測時，三類劑型，，合格的概率分別為，，．兩次檢測過程相互獨(dú)立，設(shè)經(jīng)過兩次檢測后，，三類劑型合格的種類數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．

附：（1）相關(guān)系數(shù)

（2），，，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為．如果，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為 ，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立．

（1）求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；

（2）已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為50元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望(保留一位小數(shù))．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）令，若對任意的，，恒有成立，求實(shí)數(shù)k的最大整數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，動圓與圓外切，且圓與直線相切，記動圓圓心的軌跡為曲線．

(1)求曲線的軌跡方程；

(2)設(shè)過定點(diǎn)的動直線與曲線交于兩點(diǎn)，試問：在曲線上是否存在點(diǎn)（與兩點(diǎn)相異），當(dāng)直線的斜率存在時，直線的斜率之和為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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