【題目】如圖,在三棱柱中,四邊形是菱形,四邊形是正方形,,,,點為的中點.
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)(1)連接AF,與CD交于點H,連接GH,易得BF∥GH,從而得證;
(2)以D為原點,直線DG,DE,DF分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,通過求面BCD的一個法向量為和面BEF的一個法向量為,利用=即可得解.
(1)連接AF,與CD交于點H,連接GH,
則GH為△ABF的中位線,
所以BF∥GH,
又BF平面CDG,GH平面CDG,
所以BF∥平面CDG.
(2)由題意可知,直線DG,DE,DF兩兩垂直,
以D為原點,直線DG,DE,DF分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,
,,,.
設(shè)平面BCD的一個法向量為=,則有,得,
取,得,所以=,
設(shè)平面BEF的一個法向量為=,則有,得,
取,得,所以=,
設(shè)平面BCD與平面BEF所成銳二面角為
則=,
所以平面BCD與平面BEF所成銳二面角的余弦值為.
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【題目】某中學(xué)將要舉行校園歌手大賽,現(xiàn)有4男3女參加,需要安排他們的出場順序.(結(jié)果用數(shù)字作答)
(1)如果3個女生都不相鄰,那么有多少種不同的出場順序?
(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相鄰),那么有多少種不同的出場順序?
(3)如果3位女生都相鄰,且女生甲不在第一個出場,那么有多少種不同的出場順序?
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【題目】已知函數(shù)其中,為常數(shù)且在處取得極值.
1當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
2若在上的最大值為1,求的值.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若兩條互相垂直的直線都經(jīng)過原點(兩條直線與坐標(biāo)軸都不重合)且與曲線分別交于點(異于原點),且,求這兩條直線的直角坐標(biāo)方程.
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【題目】某學(xué)校共有教職工900人,分成三個批次進行繼續(xù)教育培訓(xùn),在三個批次中男、女教職工人數(shù)如下表所示. 已知在全體教職工中隨機抽取1名,抽到第二批次中女教職工的概率是0.16 .
(1)求的值;
(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體教職工中抽取54名做培訓(xùn)效果的調(diào)查, 問應(yīng)在第三批次中抽取教職工多少名?
(3)已知,求第三批次中女教職工比男教職工多的概率.
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【題目】法國有個名人叫做布萊爾·帕斯卡,他認識兩個賭徒,這兩個賭徒向他提出一個問題,他們說,他們下賭金之后,約定誰先贏滿5局,誰就獲得全部賭金700法郎,賭了半天,甲贏了4局,乙贏了3局,時間很晚了,他們都不想再賭下去了.假設(shè)每局兩賭徒輸贏的概率各占,每局輸贏相互獨立,那么這700法郎如何分配比較合理( )
A.甲400法郎,乙300法郎B.甲500法郎,乙200法郎
C.甲525法郎,乙175法郎D.甲350法郎,乙350法郎
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【題目】如圖,一張矩形白紙,,分別為的中點,現(xiàn)分別將沿折起,且點,在平面同側(cè),則下列命題正確的是______(寫出所有正確命題的序號)
①當(dāng)平面//平面時,//平面;
②當(dāng)平面//平面時,//;
③當(dāng),重合于點時,;
④當(dāng),重合于點時,三棱錐的外接球的表面積為.
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【題目】已知直線交拋物線于兩點,過點分別作拋物線的切線,若兩條切線互相垂直且交于點.
(1)證明:直線恒過定點;
(2)若直線的斜率為1,求點的坐標(biāo).
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