Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1），若f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得a≥2．故只要f（1）-f（a）≤4 即可，即 （a-1）²≤4，求得a的范圍．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=x²-2ax+5的圖象的對(duì)稱軸為x=a，函數(shù)f（x）=x²-2ax+5在區(qū)間（-∞，2]上單調(diào)遞減，∴a≥2．
故在區(qū)間∈[1，a+1]上，1離對(duì)稱軸x=a最遠(yuǎn)，故要使對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
只要f（1）-f（a）≤4 即可，即 （a-1）²≤4，求得-1≤a≤3．
再結(jié)合 a≥2，可得2≤a≤3，
故a的取值范圍為：[2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要二次函數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．