Question

若x，y滿足約束條件

x+y≥1 -x+y≥1 2x-y≤2

，
（1）求目標函數(shù)z=

1

2

x-y+

1

2

的最值．
（2）若目標函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，求a的取值范圍．
（3）求點P（x，y）到直線y=-x-2的距離的最大值．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）作出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論．
（2）若目標函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，判斷目標函數(shù)的斜率關(guān)系，即可得到結(jié)論．
（3）根據(jù)點到直線的距離公式，利用數(shù)形結(jié)合即可求點P（x，y）到直線y=-x-2的距離的最大值．

解答： 解：（1）作出可行域如圖，則直線x+y=1，x-y=-1，2x-y=2的交點分別為A（3，4），B（0，1），C（1，0），
平移

1

2

x-y+

1

2

=0，由圖象可知過A時，z取得最小值z=

1

2

×3-4+

1

2

=-2，
過C點取得最大值z=

1

2

+

1

2

=1．
∴z的最大值為1，最小值為-2．
（2）若目標函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，
則由圖象可知-1＜-

a

2

＜2，
解得-4＜a＜2，
即a的取值范圍（-4，2）．
（3）由圖象可知，所求的最大值即是點A到直線x+y+2=0的距離，
則d=

|3+4+2|

1+1

=

9 2

2

．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．注意使用數(shù)形結(jié)合．