Question

M是橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓T的右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如下圖所示，已知|MF|的最大值為3+

5

，最小值為3-

5

．
（1）求橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求△ABM的面積的最大值S₀．若點(diǎn)N（x，y）滿足x∈Z，y∈Z，稱點(diǎn)N為格點(diǎn)．問橢圓T內(nèi)部是否存在格點(diǎn)G，使得△ABG的面積S∈（6，S₀）？若存在，求出G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（提示：點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓T內(nèi)部?

x02

a2

+

y02

b2

＜1）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓性質(zhì)可知|MF|=

c

a

(

a2

c

-xM)=a-

c

a

xM，由已知條件得

a+c=3+ 5 a-c=3- 5

，由此能求出橢圓T的方程．
（2）由題知直線AB的方程為y=

2

3

x+2，設(shè)直線l：y=

2

3

x+m與橢圓T相切于x軸下方的點(diǎn)M₀，則△ABM₀的面積為△ABM的面積的最大值S₀．直線與橢圓聯(lián)立求出直線AB與直線l距離為

2+2 2

1+ 4 9

=

3(2+2 2 )

13

，由此能求出（2，-1）為所求格點(diǎn)G．

解答： 解：（1）由橢圓性質(zhì)可知|MF|=

c

a

(

a2

c

-xM)=a-

c

a

xM，
其中c＞0，c²=a²-b²，
因?yàn)閤_M∈[-a，a]，故|MF|∈[a-c，a+c]
則

a+c=3+ 5 a-c=3- 5

，解之得

a=3 c= 5

…（4分）
故b²=a²-c²=4
橢圓T的方程為

x2

9

+

y2

4

=1…（5分）
（2）由題知直線AB的方程為y=

2

3

x+2，
設(shè)直線l：y=

2

3

x+m與橢圓T相切于x軸下方的點(diǎn)M₀，
則△ABM₀的面積為△ABM的面積的最大值S₀.

y= 2 3 x+m x2 9 + y2 4 =1

⇒

2

9

x2+

m

3

x+

m2

4

-1=0⇒△=

m2

9

-4•

2

9

(

m2

4

-1)=0⇒m=-2

2

此時(shí)，直線AB與直線l距離為

2+2 2

1+ 4 9

=

3(2+2 2 )

13

，
而|AB|=

13

S0=

1

2

•

13

•

3(2+2 2 )

13

=3(1+

2

)…（8分）
而S=

13

2

h，令6＜

13

2

h＜3(1+

2

)，則

12

13

＜h＜

3(1+ 2 )

13

設(shè)直線l1：y=

2

3

x+n到直線AB的距離為

12

13

，
則有

|n-2|

1+ 4 9

=

12

13

，解得n=-2或6，
注意到l₁與直線AB平行且l₁需與橢圓T應(yīng)有公共點(diǎn)，
故只需考慮n=-2的情形．
直線y=

2

3

x-2經(jīng)過橢圓T的下頂點(diǎn)B₀（0，-2）與右頂點(diǎn)A₀，
則線段A₀B₀上任意一點(diǎn)G₀與A、B組成的三角形的面積為6．…（10分）
根據(jù)題意若存在滿足題意的格點(diǎn)G，則G必在直線A₀B₀與l之間．
而在橢圓內(nèi)部位于四象限的格點(diǎn)為（1，-1），（2，-1）
因?yàn)?span id="jt1r7bb" class="MathJye">-1＞

2

3

•1-2，故（1，-1）在直線A₀B₀上方，不符題意
而-1＜

2

3

•2-2，則點(diǎn)（2，-1）在直線A₀B₀下方，
且

22

9

+

(-1)2

4

=

25

36

＜1，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，
所以（2，-1）為所求格點(diǎn)G．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的格點(diǎn)坐標(biāo)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．