Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+d在區(qū)間（0，2）內(nèi)為減函數(shù)，且2是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則f（1）的最小值為2．

Answer 1

分析 求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得3x²+2bx≤0在（0，2）恒成立，即為-2b≥3x，即有-2b≥6，求得b的范圍，再由零點(diǎn)的定義可得f（1）=0，可得d，b的關(guān)系，求得f（1）的解析式，化為b的式子，即可得到最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³+bx²+d的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2bx，
由f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)為減函數(shù)，可得3x²+2bx≤0在（0，2）恒成立，
即為-2b≥3x，即有-2b≥6，解得b≤-3，
由2是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即f（2）=0，8+4b+d=0，即有d=-8-4b，
則f（1）=1+b+d=1+b-8-4b=-7-3b≥-7+9=2．
故f（1）的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：判斷單調(diào)性，考查不等式恒成立思想的運(yùn)用，以及函數(shù)的零點(diǎn)的定義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．