Question

【題目】如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上， 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)，直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若為等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：

(1)由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ；

(2)由題意可得點(diǎn)在軸下方據(jù)此分類(lèi)討論有： ，聯(lián)立直線(xiàn)的方程與橢圓方程可得；

(3)設(shè)直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，可得 利用幾何關(guān)系計(jì)算可得 ，利用點(diǎn)在橢圓上得到關(guān)于實(shí)數(shù)k的方程，解方程有： .

試題解析：

（1）由題意得，解得

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）∵為等腰三角形，且∴點(diǎn)在軸下方

若，則；

若，則，∴；

若，則，∴；

∴

∴直線(xiàn)的方程，由得或

∴

（3）設(shè)直線(xiàn)的方程，

由得

∴ ∴

∴ ∴

若，則∴，∴，∵，∴，∴與不垂直；

∴，∵， ，

∴直線(xiàn)的方程，直線(xiàn)的方程:

由 解得 ∴

又點(diǎn)在橢圓上得，即，即

∵，∴