Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；

（2）對于任意，恒成立，求的取值范圍；

（3）試討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）解答見解析

【解析】

（1）由題意，當(dāng)時(shí)，可得，求得，且，利用點(diǎn)斜式方程，即可求解；

（2）由，恒成立，轉(zhuǎn)化為即在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解；

（3）由，得到則，令，得到，對分類討論，即可求解．

（1）由題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

則，可得，且，

所以在處的切線方程．

（2）由，恒成立，

即在上恒成立，

令，則，

當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

當(dāng)，即時(shí)，令，得（舍去）.

	-	0	+

所以當(dāng)時(shí)，，不符合題意.

綜上可得，，即的取值范圍.

（3）由，

則，

令，則，

①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增，

且，.

由零點(diǎn)存在性定理可知在上存在唯一的零點(diǎn)，不妨設(shè)為.

	-	0	+
		極小值

所以函數(shù)有一個極值點(diǎn)；

②當(dāng)，即時(shí)，令，則.

	-	0	+
		極小值

所以函數(shù)的最小值為.

1*）當(dāng)，即時(shí)，恒成立，

令，

由，得，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得，

∴，

∴單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，即時(shí)，無極值點(diǎn).

2*）當(dāng)，即時(shí)，且.

∵，∴在上有唯一的零點(diǎn).

下面先證：.

設(shè)，∴，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

所以，即得證，

所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

由零點(diǎn)存在性定理可知在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)，

				1
	+	0	-	0	+

所以函數(shù)有兩個極值點(diǎn)；

3*）當(dāng)時(shí)，且，，，

又由，

∴由零點(diǎn)存在性定理可知在與上各存在唯一零點(diǎn)，

同上2*）可知有兩個極值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，有一個極值點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有兩個極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn).