Question

某園藝師培育了兩種珍稀樹苗A與B，株數(shù)分別為12與18，現(xiàn)將這30株樹苗的高度編寫成莖葉圖如圖（單位：cm）若樹高在175cm以上（包括175cm）定義為“生長良好”，樹高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非生長良好”，且只有“B生長良好”的才可以出售．
（Ⅰ）如果用分層抽樣的方法從“生長良好”和“非生長良好”中抽取5株，再從這5株中選2株，那么至少有一株“生長良好”的概率是多少？
（Ⅱ）若從所有“生長良好”中選3株，用X表示所選中的樹苗中能出售的株數(shù)，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）結(jié)合排列組合知識(shí)求解，（2）先求出隨機(jī)變量X的值，再分別求出概率，得出分布列，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的公式求解．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖知，“生長良好”的有12株，“非生長良好”的有18株．
用分層抽樣的方法抽取，每株被抽中的概率是

5

30

=

1

6

，
“生長良好”的有12×

1

6

=2株，“非生長良好”的有18×

1

6

=3株．
用事件A表示“至少有一株‘生長良好’的被選中”，
則P(A)=1-

C 2 3

C 2 5

=1-

3

10

=

7

10

，
因此從5株樹苗中選2株，至少有一株“生長良好”的概率是

7

10

，
（Ⅱ）依題意，一共有12株生長良好，其中A種樹苗有8株，B種樹苗有4株，則X的所有可能取值為0，1，2，3，
P(X=0)=

C 3 8

C 3 12

=

14

55

；P(X=1)=

C 2 8 C 1 4

C 3 12

=

28

55

；P(X=2)=

C 2 4 C 1 8

C 3 12

=

12

55

；P(X=3)=

C 3 4

C 3 12

=

1

55

．
因此X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	14 55	28 55	12 55	1 55

所以X的數(shù)學(xué)期望：0×

14

55

+1×

28

55

+2×

12

55

+3×

1

55

=1

點(diǎn)評(píng)：本考查了實(shí)際問題和概率問題，統(tǒng)計(jì)知識(shí)與古典概率的求解，屬于難題．