Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a≠0）對(duì)于任意x∈R都有f（1+x）=f（1﹣x），且函數(shù)y=f（x）+2x為偶函數(shù)；函數(shù)g（x）=1﹣2^x．（I） 求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；（II） 求證：方程f（x）+g（x）=0在區(qū)間[0，1]上有唯一實(shí)數(shù)根；

（III） 若有f（m）=g（n），求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

（I）解：∵對(duì)于任意x∈R都有f（1+x）=f（1﹣x），∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，得b=﹣2a．

又函數(shù)y=f（x）+2x=ax²+（b+2）x+1為偶函數(shù)，∴b=﹣2，從而可得a=1．

∴f（x）=x²﹣2x+1=（x﹣1）²．（II）證明：設(shè)h（x）=f（x）+g（x）=（x﹣1）²+1﹣2^x，

∵h(yuǎn)（0）=2﹣2⁰=1＞0，h（1）=﹣1＜0，∴h（0）h（1）＜0．所以函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，1]內(nèi)必有零點(diǎn)，

又∵（x﹣1）²，﹣2^x在區(qū)間[0，1]上均單調(diào)遞減，所以h（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，

∴h（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一零點(diǎn)．故方程f（x）+g（x）=0在區(qū)間[0，1]上有唯一實(shí)數(shù)根．

（III）解：由題可知∴f（x）=（x﹣1）²≥0．g（x）=1﹣2^x＜1，

若有f（m）=g（n），則g（n）∈[0，1），則1﹣2ⁿ≥0，解得 n≤0．故n的取值范圍是n≤0．