Question

13．設(shè)O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x²+y²+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線x+my+4=0對稱，且以線段PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求m的值；
（2）求直線PQ的方程．
（3）M為x軸上的一點(diǎn)，當(dāng)△MPQ為鈍角三角形時，求M的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）曲線x²+y²+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q，滿足關(guān)于直線x+my+4=0對稱，說明曲線是圓，直線過圓心，代入直線方程易求m的值；
（2）設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，以及OP⊥OQ，求得b的方程，然后求直線PQ的方程．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-6y+1=0}\end{array}\right.$，解得x的值，P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，△MPQ的三個內(nèi)角都可能為鈍角，分類討論即可得解．

解答 解：（1）曲線方程為（x+1）²+（y-3）²=9，表示圓心為（-1，3），半徑為3的圓．
∵點(diǎn)P，Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對稱．
∴圓心（-1，3）在直線上，代入直線方程得m=-1．…2分
（2）∵直線PQ與直線y=x+4垂直，
∴設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．…3分
將y=-x+b代入圓方程得，
2x²+2（4-b）x+b²-6b+1=0．
△=4（4-b）²-8×（b²-6b+1）＞0，∴2-3$\sqrt{2}$＜b＜2+3$\sqrt{2}$，
由韋達(dá)定理得，
x₁+x₂=b-4，x₁•x₂=$\frac{^{2}-6b+1}{2}$，…4分
y₁•y₂=（-x₁+b）（-x₂+b）
=b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=$\frac{^{2}+2b+1}{2}$，
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，…5分
即$\frac{^{2}-6b+1}{2}$+$\frac{^{2}+2b+1}{2}$=0．解得b=1∈（2-3，2+3）．∴所求的直線PQ方程為y=-x+1．…7分
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-6y+1=0}\end{array}\right.$得x²+3x-2=0，解得x=$\frac{-3±\sqrt{17}}{2}$，所以P（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$），Q（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$） …8分
1、若∠PMQ為鈍角時，M點(diǎn)在以PQ為直徑的圓內(nèi)．而PQ中點(diǎn)為（$\frac{-3}{2}$，$\frac{5}{2}$），所以以PQ為直徑的圓與x軸交于兩點(diǎn)O（0，0），A（-3，0），所以-3＜x＜0．…9分
2、當(dāng)∠MPQ為鈍角時，過P點(diǎn)且垂直于PQ的直線方程為y-$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$=x+$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，令y=0得x=-4-$\sqrt{17}$，

所以x＜-4-$\sqrt{17}$ …10分
3、當(dāng)∠MQP為鈍角時，過Q點(diǎn)且垂直于PQ的直線方程為y-$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$=x-$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，令y=0得x=$\sqrt{17}$-4，所以x＞$\sqrt{17}$-4，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=0}\end{array}\right.$得直線PQ與x軸的交點(diǎn)為M（1，0），此時M，P，Q三點(diǎn)共線，所以x＞$\sqrt{17}$-4且x≠1…12分
綜上：當(dāng)△MPQ為鈍角三角形時，M的橫坐標(biāo)的取值范圍為：（-∞，-4-$\sqrt{17}$）∪（-3，0）∪（$\sqrt{17}$-4，1）∪（1，+∞）…13分

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，直線的一般式方程，考查直線恒過定點(diǎn)，考查直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)與方程的思想，是中檔題．