Question

18．已知PQ與圓O相切于點(diǎn)A，直線PBC交圓于B、C兩點(diǎn)，D是圓上一點(diǎn)，且AB∥DC，DC的延長(zhǎng)線交PQ于點(diǎn)Q．
（1）求證：AC²=CQ•AB；
（2）若AQ=2AP，AB=$\sqrt{2}$，BP=2，求QD．

Answer 1

分析 （1）證明△ACB∽△CQA，可以證明AC²=CQ•AB；
（2）先求出PC，再利用切割線定理求出QA，QD．

解答 （1）證明：∵AB∥CD，∴∠PAB=∠AQC，
又PQ與圓O相切于點(diǎn)A，
∴∠PAB=∠ACB，
∵AQ為切線，∴∠QAC=∠CBA，
∴△ACB∽△CQA，∴$\frac{AC}{CQ}$=$\frac{AB}{AC}$，即AC²=CQ•AB.5分
（2）解：∵AB∥CD，AQ=2AP，
∴$\frac{BP}{PC}$=$\frac{AP}{PQ}$=$\frac{AB}{QC}$=$\frac{1}{3}$，
由AB=$\sqrt{2}$，BP=2，得QC=3$\sqrt{2}$，PC=6，
∵AP為圓O的切線，∴AP²=PB•PC=12，
∴AP=2$\sqrt{3}$，∴QA=4$\sqrt{3}$，
又∵AQ為圓O的切線，∴AQ²=QC•QD，∴QD=8$\sqrt{2}$.10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查三角形相似的判斷與運(yùn)用，考查切割線定理，難度中等．