Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其離心率，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若A,B,C,D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)，,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）容易知道當(dāng)P點(diǎn)為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，面積最大，再根據(jù) 橢圓的離心率為

可得到關(guān)于a，c的方程組，解該方程組即可得到a，c，b，從而得出橢圓的方程；（2）先容易求出AC，BD中有一條直線不存在斜率時(shí)，當(dāng)直線AC存在斜率k且不為0時(shí)，寫出直線AC的方程y=k（x+2），聯(lián)立橢圓的方程消去y得到，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長公式即可求得，把k換上即可得到．所以用k表示出，這時(shí)候設(shè)，t＞1，從而得到，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的范圍，從而求出的取值范圍

試題解析：(1）由題意得，當(dāng)點(diǎn)是橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值

此時(shí)

所以

因?yàn)?/span>

所以，

所以橢圓方程為

（2）由（1）得橢圓方程為，則的坐標(biāo)為

因?yàn)?/span>，所以

①當(dāng)直線與中有一條直線斜率不存在時(shí)，易得

②當(dāng)直線斜率存在且，則其方程為，設(shè)，

則點(diǎn)、的坐標(biāo)是方程組的兩組解

所以

所以

所以

此時(shí)直線的方程為

同理由可得

令，則，

因?yàn)?/span>，所以

所以

綜上