Question

18．已知曲線y=3x²，求過點(diǎn)A（1，3）的曲線的切線方程．

Answer 1

分析 設(shè)出曲線過點(diǎn)P切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和表示出的斜率，寫出切線的方程，把P的坐標(biāo)代入切線方程即可得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點(diǎn)橫坐標(biāo)的值，分別代入所設(shè)的切線方程即可．

解答 解：設(shè)曲線y=3x²，與過點(diǎn)A（1，3）的切線相切于點(diǎn)P（x₀，3x₀²），
則切線的斜率 k=y′|_x=x0=6x₀，
∴切線方程為y-3x₀²=6x₀（x-x₀），
即 y=6x₀•x-3x₀²
∵點(diǎn)A（1，3）在切線上，
∴3=6x₀-3x₀²
解得x₀=1，
過點(diǎn)A（1，3）的曲線的切線的斜率為：6，
過點(diǎn)A（1，3）的曲線的切線方程：y-3=6（x-1），即6x-y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，是一道綜合題．學(xué)生在解決此類問題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線”，還是“過某點(diǎn)的切線”；同時(shí)解決“過某點(diǎn)的切線”問題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決．