Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=1，a₃=2，若

an

an-2

=

an-3

an-1

（n∈N^*，n≥4），則a₅=

 

，數(shù)列{a_n}的前10項(xiàng)和S₁₀=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由

an

an-2

=

an-3

an-1

①，得

an-1

an-3

=

an-4

an-2

②，由①②得an-22=anan-4（n≥5），從而可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等比數(shù)列，令n=4、n=5可求得a₅，分組可求S₁₀．

解答： 解：由

an

an-2

=

an-3

an-1

①，得

an-1

an-3

=

an-4

an-2

②，
由①②得an-22=anan-4（n≥5），
∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等比數(shù)列，

a4

a2

=

a1

a3

，∴a4=

1

2

×1=

1

2

，
由

a5

a3

=

a2

a4

，得a5=

1

1 2

×2=4，
可知奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)、

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴S₁₀=

1×(1-25)

1-2

+

1×[1-( 1 2 )5]

1- 1 2

=

527

16

，
故答案為：4，

527

16

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查由遞推式求數(shù)列的項(xiàng)，考查數(shù)列求和，考查學(xué)生的推理能力．