Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中點．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面A₁AC⊥平面BDE；
（Ⅲ）求直線BE與平面A₁AC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明A₁C∥平面BDE；
（Ⅱ）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面A₁AC⊥平面BDE；
（Ⅲ）求出直線BE與平面A₁AC所成角，然后根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，
∵E、O分別是AA₁、AC的中點，
∴A₁C∥EO
又A₁C?平面BDE，EO?平面BDE，
∴A₁C∥平面BDE
（Ⅱ）∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，AA₁⊥BD，
又BD⊥AC，AC∩AA₁=A，
∴BD⊥平面A₁AC，
BD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面A₁AC
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知直線BE與平面A₁AC所成角是∠BEO
設(shè)正方體棱長為a，在Rt△BOE中，EO=

2

2

a，BE=

5

2

a，
∴sin∠BEO=

10

5

即直線BE與平面A₁AC所成角的正弦值為

10

5

．

點評：本題主要考查線面平行和面面垂直的判斷以及直線和平面所成角的求解，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理．