Question

2014年推出一種新型家用轎車，購買時費用為14.4萬元，每年應(yīng)交付保險費、養(yǎng)路費及汽車油費共0.7萬元，
汽車維修費為：第一年無維修費用，第二年為0.2萬元，從第三年起，每年的維修費用均比上一年增加0.2萬元
（1）設(shè)該輛轎車使用n年的總費用（包括購買費用，保險費，養(yǎng)路費，汽車費及維修費）為f（n），求f（n）的表達(dá)式．
（2）這種汽車使用多少年報廢最合算（即該車使用多少年，年平均費用最少）？

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知中某種汽車購買時費用為14.4萬元，每年應(yīng)交付保險費、養(yǎng)路費及汽油費共0.7萬元，汽車的維修費為：第一年0.2萬元，第二年0.4萬元，第三年0.6萬元，…，依等差數(shù)列逐年遞增，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，即可得到f（n）的表達(dá)式；
（2）由（1）中使用n年該車的總費用，得到n年平均費用表達(dá)式，根據(jù)基本不等式，計算出平均費用最小時的n值，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得：每年的維修費構(gòu)成一等差數(shù)列，n年的維修總費用為

[0+0.2(n-1)]

2

n=0.1n2-0.1n（萬元）…（3分）
所以f（n）=14.4+0.7n+（0.1n²-0.1n）
=0.1n²+0.6n+14.4（萬元）…（6分）
（2）該輛轎車使用n年的年平均費用為

f(n)

n

=

0.1n2+0.6n+14.4

n

0.1n+0.6+

14.4

n

…（9分）
≥2

0.1n× 14.4 n

+0.6
=3（萬元）…（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)0.1n=

14.4

n

時取等號，此時n=12
答：這種汽車使用12年報廢最合算．…（13分）

點評：本題考查的知識點是根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，數(shù)列的應(yīng)用，其中（1）的關(guān)鍵是由等差數(shù)列前n項和公式，得到f（n）的表達(dá)式，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)基本不等式，得到函數(shù)的最小值點．