Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁，AC=

2

BC，點D是AB的中點．
（1）證明：AC₁∥平面B₁CD；
（2）證明：B₁C⊥平面ABC₁；
（3）證明：平面ABC₁⊥平面B₁CD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)BC₁與B₁C相交于點E，連接DE．由三角形的中位線定理可得DE∥AC₁．利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）由菱形的性質(zhì)可得B₁C⊥BC₁，由線面垂直的判定和性質(zhì)定理可得AB⊥B₁C，于是得到B₁C⊥平面ABC₁；
（3）利用面面垂直的判定定理即可得到面面垂直．

解答： 證明：（1）設(shè)B₁C，BC₁交于點M，連結(jié)MD．…（1分）
∵四邊形BCC₁B₁為平行四邊形，
∴點M為BC₁的中點．…（2分）
在△ABC₁中，點D，M分別是AB，BC₁的中點，
∴DM∥AC₁．…（4分）
又∵DM?面B₁CD，AC₁?面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．…（5分）
（2）∵AB=BC，AC=

2

BC，
∴AC²=BC²+AB²，∴AB⊥BC．…（6分）
∵AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，
∴BB₁⊥平面ABC，
又∵AB?平面ABC，
∴BB₁⊥AB…（7分），
又∵BB₁∩BC=點B，BB₁、BC?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥平面BCC₁B₁…（8分）．
又∵B₁C?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥B₁C．…（9分）
在正方形BCC₁B₁中，B₁C⊥BC₁…（10分），
又∵AB∩BC₁=點B，AB、BC₁?平面ABC₁，
∴B₁C⊥平面ABC₁．…（11分）
（3）又∵B₁C?平面B₁CD，
∴平面ABC₁⊥平面B₁CD．…（14分）

點評：熟練掌握三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、菱形的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵．本題主要考查空間點線面的位置關(guān)系，考查空間想象能力、邏輯推理能力．