Question

下列命題中是真命題的個數(shù)是（　�。�
①?α，β∈R，sin（α+β）≠sinα+sinβ
②命題p：?x∈R，x²+x+1=0，則命題?p：?x∈R，x²+x+1≠0；
③?ϕ∈R，函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函數(shù)
④?a＞0，a≠1，函數(shù)f（x）=log_ax與y=a^x的圖象有三個交點．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：①取α=2kπ（k∈Z）滿足sin（α+β）=sinα+sinβ．
②由非命題的意義即可得出；
③取ϕ=kπ+

π

2

（k∈Z），函數(shù)f（x）=±cos2x是偶函數(shù)；
④當(dāng)a∈（0，e^-e）時，函數(shù)f（x）=log_ax與y=a^x的圖象有三個交點．

解答： 解：①?α，β∈R，sin（α+β）≠sinα+sinβ，不正確，
因為取α=2kπ（k∈Z）滿足sin（α+β）=sinα+sinβ．
②命題p：?x∈R，x²+x+1=0，由非命題的意義可得：?p：?x∈R，x²+x+1≠0，正確；
③取φ=kπ+

π

2

（k∈Z），函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）=±cos2x是偶函數(shù)，因此③不正確；
④?a＞0，a≠1，函數(shù)f（x）=log_ax與y=a^x的圖象有三個交點．
關(guān)于方程log_ax=a^x的解由以下結(jié)論：當(dāng)a∈（0，e^-e）時，方程有三個實數(shù)根；當(dāng)a∈[e^-e，1）或a=e

1

e

時，有1個實數(shù)根；當(dāng)a∈(1，e

1

e

)時，有兩個實數(shù)根；當(dāng)a＞e

1

e

時，無實數(shù)根．
據(jù)此可知：?a＞0，a≠1，函數(shù)f（x）=log_ax與y=a^x的圖象有三個交點，正確．
綜上可知：只有②④是真命題．
故答案為：②④．

點評：本題綜合考查了簡易邏輯的有關(guān)知識、三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題．