Question

已知α，β∈（0，π），且tan（α-β）=

1

2

，tanβ=-

1

7

（1）計(jì)算tanα、tan2α的值
（2）求2α-β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用差角的正切公式，求出tanα；利用二倍角公式求出tan2α的值；
（2）先求出tan（2α-β）=1，再確定-π＜2α-β＜0，即可求2α-β的值．

解答： 解：（1）∵tan(α-β)=

1

2

，∴

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

1

2

…（2分）
而：tanβ=-

1

7

，∴

tanα+ 1 7

1- 1 7 tanα

=

1

2

，解得tanα=

1

3

…（5分）
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2× 1 3

1-( 1 3 )2

=

3

4

…（7分）
（2）tan（2α-β）=

tan2α-tanβ

1+tan2αtanβ

=

3 4 + 1 7

1- 3 4 × 1 7

=1．…（9分）
∵tanα=

1

3

＞0，α∈（0，π），∴0＜α＜

π

2

，0＜2α＜π
∵tan2α=

3

4

＞0∴0＜2α＜

π

2

，…（11分）
∵tanβ=-

1

7

＜0，β∈（0，π），∴

π

2

＜β＜π，…（12分）
∴-π＜2α-β＜0，…（13分）
∴2α-β=-

3π

4

．                              …（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，考查知值求角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．