Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，E為AD上一點，PE⊥平面ABCD．AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE=2，EB=3，F(xiàn)為PC上一點，且CF=2FP．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）若二面角F-BE-C為60°，求tan∠APD的值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ） 連接AC交BE于點M，連接FM．由EM∥CD，推導(dǎo)出FM∥AP，由此能證明PA∥面BEF．
（Ⅱ）法一：連CE，過F作FH⊥CE于H，過H作HM⊥BE于M，連FM，由已知條件推導(dǎo)出∠FMH為二面角F-BE-C的平面角，由此能求出tan∠APD的值．
（Ⅱ）法二：以E為坐標(biāo)原點，EB，ED，EP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出能求出tan∠APD的值．

解答： （本小題滿分15分）
（Ⅰ） 證明：連接AC交BE于點M，
連接FM．∵EM∥CD，
∴

AM

MC

=

AE

ED

=

1

2

=

PF

FC

，F(xiàn)M∥AP，
∵FM?面BEF，PA?面BEF，
∴PA∥面BEF．（6分）
（Ⅱ）解法一：連CE，過F作FH⊥CE于H．由于FH∥PE，
∴FH⊥面ABCD．過H作HM⊥BE于M，
連FM．則FM⊥BE，即∠FMH為二面角F-BE-C的平面角．
∴∠FMH=60°，F(xiàn)H=

3

MH，（10分）
FH=

2

3

PE，MH=

1

3

BC=

2

3

AE，∴PE=

3

AE，（12分）
tan∠APE=

1

3

，tan∠DPE=

2

3

，tan∠APD=3

3

．（15分）
（Ⅱ）解法二：以E為坐標(biāo)原點，EB，ED，EP為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系．
則E（0，0，0），B（3，0，0），P（0，0，m），
C（3，2，0），∵

CF

=2

FP

，∴F(1，

2

3

，

2

3

m)，（8分）
設(shè)平面BEF的法向量

n1

=(x，y，z)，
由

n • EB =0 n • EF =0

，得

n1

=（0，-m，1），
面ABCD法向量為

n2

=(0，0，1)．（10分）
由于cos60°=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

，解得m=

3

．（12分）
∴tan∠APE=

1

3

，tan∠DPE=

2

3

，tan∠APD=3

3

．（15分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查角的正切值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．