Question

已知橢圓：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，離心率為

2

2

，焦點(diǎn)F₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c）過F₁的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且△F₂MN的周長為4．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ） 直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m）（m≠0），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A，B且

AP

=λ

PB

．若

OA

+λ

OB

=4

OP

，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）先離心率為

2

2

，△F₂MN的周長為4，可求出a，b，c的值，從而得到答案．
（2）先設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A、B的坐標(biāo)，然后聯(lián)立直線和橢圓方程消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而得到兩根之和、兩根之積，根據(jù)

AP

=λ

PB

，

OA

+λ

OB

=4

OP

，可得λ=3，再利用韋達(dá)定理，即可解出m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，4a=4，

c

a

=

2

2

，
∴a=1，c=

2

2

，
∴b=

a2-c2

=

2

2

，
∴橢圓方程方程為y2+

x2

1 2

=1；
（Ⅱ）設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+m y2+2x2=1

得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0（*）
∴x₁+x₂=-

2km

k2+2

，x₁x₂=

m2-1

k2+2

，
∵

AP

=λ

PB

，

OA

+λ

OB

=4

OP

，
∴λ=3
∴-x₁=3x₂
∴x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3x₂²，
∴3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3（-

2km

k2+2

）²+4•

m2-1

k2+2

=0，
整理得4k²m²+2m²-k²-2=0
m²=

1

4

時(shí)，上式不成立；m²≠

1

4

時(shí)，k2=

2-2m2

4m2-1

，
由（*）式得k²＞2m²-2
∵k≠0，
∴k2=

2-2m2

4m2-1

＞0，
∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1
即所求m的取值范圍為（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、基本性質(zhì)和直線與橢圓的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題是高考的重點(diǎn)題目，要強(qiáng)化學(xué)習(xí)．