Question

如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點．
（1）求異面直線BE與AC所成的角的余弦值
（2）求二面角E-AB-C的余弦值
（3）O點到面ABC的距離．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：空間角

分析：（1）以O為原點，OB、OC、OA分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，由此利用向量法能求出異面直線BE與AC所成的角的余弦值．
（2）分別求出平面EAB的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角E-AB-C的余弦值．
（3）由平面ABC的法向量為

n1

=(1，1，2)，

OA

=(0，0，1)，利用向量法能求出點O到面ABC的距離．

解答： 解：（1）以O為原點，OB、OC、OA分別為x、y、z軸，
建立空間直角坐標系．
由題意知A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）．
∴

EB

=(2，-1，0)，

AC

=(0，2，-1)，

AB

=(2，0，-1)，
cos＜

EB

，

AC

＞=

-2

5 • 5

=-

2

5

，
∴異面直線BE與AC所成的角的余弦值為

2

5

．…（4分）
（2）設平面EAB的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n

⊥

AB

知：

n

•

AB

=2x-z=0，
由

n

⊥

EB

知：

n

•

EB

=2x-y=0．
取x=1，得

n

=(1，2，2)．
設平面ABC的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
則

n1 • AB =2x1-z1=0 n1 • AC =2y1-z1=0

，
取x₁=1，得

n1

=(1，1，2)．
則cos＜

n

，

n1

＞=

n • n1

| n || n1 |

=

1+2+4

9 • 6

=

7

3 6

=

7 6

18

．
結合圖形可知，二面角E-AB-C的余弦值為

7 6

18

．…（8分）
（3）由（2）知平面ABC的法向量為

n1

=(1，1，2)，

OA

=(0，0，1)，
∴點O到面ABC的距離為：
d=

| n1 • OA |

| n1 |

=

2

1+1+4

=

6

3

．…（12分）

點評：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．