Question

如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點(diǎn)G，已知△A′DE（A′∉平面ABC）是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，有下列命題：
①平面A′FG⊥平面ABC；
②BC∥平面A′DE；
③三棱錐A′-DEF的體積最大值為

1

64

a³；
④存在某個(gè)位置，使得DF與A′E垂直．
其中正確的命題是（　�。�

• A、②
• B、②③
• C、①②③
• D、①②③④

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征,命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)空間線面平行，面面垂直，以及三棱錐的體積公式分別進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：①中由已知可得四邊形ABCD 是菱形，
則DE⊥GA′，DE⊥GF，
∴DE⊥平面A′FG，∴面A′FG⊥面ABC，①正確；
又 BC∥DE，∴BC∥平面A′DE；②正確；
當(dāng)面A′DE⊥面ABC 時(shí)，三棱錐A′-DEF 的體積達(dá)到最大，最大值為

1

3

×

1

4

×

3

4

a²×

3

4

a=

1

64

a³，③正確；
當(dāng)（A′E）²+EF²=（A′F）²時(shí)，DF與A′E垂直，∴④正確；
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面、面面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的運(yùn)用，考查了空間線線、線面的位置關(guān)系及所成的角的概念，考查了空間想象能力，屬于中檔題．