Question

如圖，四棱錐A-BCDE，平面ABC⊥平面BCDE，△ABC邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面BCDE是矩形，且CD=

2

．
（Ⅰ）若點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，求證：AC∥平面BDG；
（Ⅱ）試問(wèn)點(diǎn)F在線段AB上什么位置時(shí)，二面角B-CE-F的大小為

π

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面BCE和CEF的法向量，利用向量法求二面角的大小，解方程即可得出．

解答： （Ⅰ）證明：連CE交BD于點(diǎn)M，∵四邊形BCDE是矩形，M為CE中點(diǎn)，
在△ACE中，G為AE中點(diǎn)，故GM∥AC．
∵GM?平面BDG，AC?平面BDG，∴AC∥平面BDG．
（Ⅱ）解：取BC中點(diǎn)O，分別以O(shè)B，OM，OA所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，

3

)，B(1，0，0)，C(-1，0，0)，E(1，

2

，0)設(shè)

BF

=λ

BA

 (0≤λ≤1)，得F(1-λ，0，

3

λ)，顯然平面BCE的法向量為（0，0，1）
設(shè)平面CEF的法向量為

n

=(x，y，z)
由

n • CE =2x+ 2 y=0 n • CF =(2-λ)x+ 3 λz=0

取x=1，得y=-

2

，z=

λ-2

3 λ

，∴

n

=(1，-

2

，

λ-2

3 λ

)
依題意有cos

π

4

=

| λ-2 3 λ |

1+2+( λ-2 3 λ )2

，⇒2λ²+λ-1=0
解得λ=-1（舍去）或λ=

1

2

∴當(dāng)點(diǎn)F在AB中點(diǎn)時(shí)，恰好滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理，以及利用向量法解決二面角的大小問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．