橢圓G的中心為原點(diǎn)O，A（4，0）為橢圓G的一個(gè)長軸端點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)E（2，0），與橢圓G交于B、C兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，|BC|=6．
（Ⅰ）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若AC∥BF，求直線l的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由A（4，0）為橢圓G的長軸端點(diǎn)，設(shè)橢圓G的方程為
x2
16
+
y2
b2
=1，由已知條件推導(dǎo)出
4
16
+
9
b2
=1，由此能求出橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my+2，聯(lián)立方程組
x=my+2
3x2+4y2=48
，得：（3m2+4）y2+12my-36=0，由此利用韋達(dá)定理能求出直線l的方程．
解答： 解：（Ⅰ）∵A（4，0）為橢圓G的長軸端點(diǎn)，
∴設(shè)橢圓G的方程為
x2
16
+
y2
b2
=1，
∵當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，|BC|=6，
∴橢圓G過點(diǎn)（2，3），
∴
4
16
+
9
b2
=1，解得b2=12，
∴橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
16
+
y2
12
=1．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my+2，
聯(lián)立方程組
x=my+2
3x2+4y2=48
，得：（3m2+4）y2+12my-36=0，
設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則y1+y2=-
12m
3m2+4
，①，y1y2=-
36
3m2+4
，③
又
AC
=（x2-4，y2），
FB
=（x1+2，y1），且AC∥BF，
∴（x2-4）y1-（x1+2）y2=0，
即（my2-2）y1-（my1+4）y2=0，即y1=-2y2，③
由①②③，得(
12m
3m2+4
)2=
18
3m2+4
，∴m2=
4
5
，
當(dāng)m2=
4
5
時(shí)，△＞0，∴m=±
2
5
5
，
∴直線l的方程為x=±
2
5
5
y+2，
即5x-2
5
y-10=0或5x+2
5
y-10=0．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓等橢圓知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+alnx-1，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥lnx對于任意x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在棱錐P-ABC中，PO⊥平面ABC，PA=PB=BC=3，AD=BD=1，PO=2．
（1）證明：CD⊥AB
（2）求棱錐P-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥側(cè)面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=
π
3
．
（1）求四棱錐A1-BB1C1C的體積；
（2）求證：C1B⊥平面ABC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求滿足sin（x-
π
4
）≥
1
2
的x的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=4
2
x的焦點(diǎn)為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，且橢圓的長軸長為4，左右頂點(diǎn)分別為A，B，經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2，且|S1-S2|=2，求直線l方程；
（Ⅲ）若M（x1，y1）N（x2，y2）是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿x1x2+2y1y2=0，動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OM
+2
ON
（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2使得|PF1|+|PF2|為定值，若存在求出該定值，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
，
b
都是單位向量，且滿足|3
a
-2
b
|=
7

（1）求
a
與
b
的夾角的大小；
（2）求|3
a
+
b
|的值；
（3）若（k
a
-3
b
）⊥（
a
+k
b
），求k．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某私營企業(yè)家準(zhǔn)備投資1320萬元新辦一所完全中學(xué)（含教師薪金）．對教育市場進(jìn)行調(diào)查后，得到了下面的數(shù)據(jù)（以班為單位）：
學(xué)段班 級
學(xué)生數(shù)		配 備
教師數(shù)		硬件建設(shè)
（萬元）		教師年薪
（萬元）
初中402.5253.2萬元∕人
高中454.0504.0萬元∕人
根據(jù)教育、物價(jià)、財(cái)政等部門的有關(guān)規(guī)定，在達(dá)到辦學(xué)要求的前提下，初中每人每年可收取學(xué)費(fèi)7000元，高中每人每年可收取學(xué)費(fèi)8000元．那么第一年開辦初中班和高中班各多少個(gè)，收取的學(xué)費(fèi)額最多？（注：一個(gè)學(xué)校辦學(xué)規(guī)模以20至30個(gè)班為宜，教師實(shí)行聘任制）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

空間有兩兩垂直的三條直線，過空間一點(diǎn)M到三條直線的距離分別為3，4，5，則點(diǎn)M到三條直線交點(diǎn)的距離是
 
．

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