Question

某私營企業(yè)家準(zhǔn)備投資1320萬元新辦一所完全中學(xué)（含教師薪金）．對教育市場進(jìn)行調(diào)查后，得到了下面的數(shù)據(jù)（以班為單位）：

學(xué)段	班 級 學(xué)生數(shù)	配 備 教師數(shù)	硬件建設(shè) （萬元）	教師年薪 （萬元）
初中	40	2.5	25	3.2萬元∕人
高中	45	4.0	50	4.0萬元∕人

根據(jù)教育、物價、財政等部門的有關(guān)規(guī)定，在達(dá)到辦學(xué)要求的前提下，初中每人每年可收取學(xué)費7000元，高中每人每年可收取學(xué)費8000元．那么第一年開辦初中班和高中班各多少個，收取的學(xué)費額最多？（注：一個學(xué)校辦學(xué)規(guī)模以20至30個班為宜，教師實行聘任制）

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)出二元變量，建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解．

解答： 解：設(shè)開辦初中班x個，高中班y個，收取的學(xué)費總額為z萬元．
根據(jù)題意，有 x≥0，y≥0，且x、y∈Z；                  ①
20≤x+y≤30；                                       ②
25x+50y+2.5×3.2x+4.0×4.0y≤1320，
即 x+2y≤40．③
目標(biāo)函數(shù)為 z=0.7×40 x+0.8×45 y=28 x+36 y，可行域如圖：
把z=28 x+36 y變形為y=-

7

9

x+

z

36

，
得到斜率為-

7

9

，在y軸上的截距為

z

36

，隨z
變化的一簇平行直線．由圖象可以看到，當(dāng)直
線z=28 x+36 y經(jīng)過可行域上的點A時，z最大．
解方程組 

x+y=30 x+2y=40

得x=20，y=10，
即點A的坐標(biāo)為（20，10），
所以 z_max=28×20+36×10=920．
由此可知，開辦20個初中班和10個高中班，收取的學(xué)費總額最多，為920萬元．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．