設(shè)向量
a
,
b
都是單位向量,且滿足|3
a
-2
b
|=
7

(1)求
a
b
的夾角的大小;
(2)求|3
a
+
b
|的值;
(3)若(k
a
-3
b
)⊥(
a
+k
b
),求k.
考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)利用向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)即可得出;
(2)利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可得出;
(3)利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.
解答: 解:(1)設(shè)
a
b
的夾角為θ.
∵向量
a
b
都是單位向量,且滿足|3
a
-2
b
|=
7

∴7=9
a
2
+4
b
2
-12
a
b
=9+4-12cosθ,解得cosθ=
1
2
,
∵θ∈[0,π],∴θ=
π
3

(2)|3
a
+
b
|=
9
a
2
+
b
2
+6
a
b
=
9+1+6×1×1×cos
π
3
=
13

(3)∵(k
a
-3
b
)⊥(
a
+k
b
),∴(k
a
-3
b
)•(
a
+k
b
)=k
a
2
-3k
b
2
+(k2-3)
a
b
=k-3k+(k2-3)×1×1×cos
π
3
=0,
化為k2-4k-3=0,解得k=
7
點(diǎn)評:本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)量積的定義及其運(yùn)算性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=4x,直線l與拋物線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)兩點(diǎn)(A,B異于點(diǎn)O),設(shè)直線OA,l,OB的斜率分別為k1,k,k2(其中k>0),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)若k1•k2=-1,求y1y2的值;
(Ⅱ)若k1+k2=8k,記△OAB的面積為S,以O(shè)A,OB為直徑的圓的面積分別為S1,S2.是否存在正實(shí)數(shù)λ,使得S1+S2≥λS恒成立?若存在,求出λ的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:在二面角α-l-β中,A、B∈α,C、D∈l,ABCD為矩形,p∈β,PA⊥α且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中點(diǎn),
(1)求二面角α-l-β的大。
(2)求異面直線MN與l所成的角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

橢圓G的中心為原點(diǎn)O,A(4,0)為橢圓G的一個長軸端點(diǎn),F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)E(2,0),與橢圓G交于B、C兩點(diǎn),當(dāng)直線l垂直x軸時,|BC|=6.
(Ⅰ)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若AC∥BF,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an},a1=
1
2
,an+1-an=
1
(2n)2-1
,寫出數(shù)列的前四項,并歸納出通項公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,ED⊥平面ABCD,F(xiàn)B⊥平面ABCD,且ED=FB=1.
(Ⅰ)求多面體ABCDEF的體積;
(Ⅱ)在線段AF上是否存在點(diǎn)S,使得平面SBC⊥平面AEF?若存在,求點(diǎn)S的位置;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)與過點(diǎn)M(2
2
,0),N(0,
2
)的直線有且只有一個公共點(diǎn),且橢圓C的離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(Ⅱ)過點(diǎn)P(0,4)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),交x軸于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q與橢圓頂點(diǎn)不重合),若
PQ
1
QA
2
QB
,且λ12=8,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表.設(shè)aij(i,j∈N*)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行,從左往右數(shù)第j個數(shù),若aij=2013,則i與j的和為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若f(x)=
2πx-2(x≤2)
1g(x2+2x+1)(x>2)
,則f(f(9))=
 

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同步練習(xí)冊答案