Question

已知拋物線y²=4

2

x的焦點為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點，且橢圓的長軸長為4，左右頂點分別為A，B，經(jīng)過橢圓左焦點的直線l與橢圓交于C、D兩點．
（Ⅰ）求橢圓標準方程；
（Ⅱ）記△ABD與△ABC的面積分別為S₁和S₂，且|S₁-S₂|=2，求直線l方程；
（Ⅲ）若M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）是橢圓上的兩動點，且滿x₁x₂+2y₁y₂=0，動點P滿足

OP

=

OM

+2

ON

（其中O為坐標原點），是否存在兩定點F₁，F(xiàn)₂使得|PF₁|+|PF₂|為定值，若存在求出該定值，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得橢圓中的c=

2

，又由橢圓的長軸為4，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設直線l：x=my-

2

，代入橢圓方程，得：(m2+2)y2-2

2

my-2=0，由此利用三角形的面積公式結合已知條件能求出直線l的方程．
（Ⅲ）設P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由

OP

=

OM

+2

ON

，得

xP2

20

+

yP2

10

=1，由橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|為定值4

5

．

解答： 解：（Ⅰ）由題設知：
∵拋物線y2=4

2

x的焦點為（

2

，0），
∴橢圓中的c=

2

，又由橢圓的長軸為4，得a=2，
∴b²=a²-c²=2，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）設直線l：x=my-

2

，代入橢圓方程，得：
(m2+2)y2-2

2

my-2=0，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（-2，0），B（2，0），
y1+y2 =

2 2 m

m2+2

，
∴|S₁-S₂|=

1

2

×4×||y1|-|y2||=

1

2

×|y1+y2|=2×

2 2 |m|

m2+2

=2，
∴m=±

2

，
∴直線l的方程為x±

2

y+

2

=0．
（Ⅲ）存在兩定點F₁，F(xiàn)₂使得|PF₁|+|PF₂|為定值．
設P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

OP

=

OM

+2

ON

，得：

xP=x1+2x2 yP=y1+2y2

，①
x₁x₂+2y₁y₂=0，②
M，N是橢圓上的點，
∴x12+2y12=4，x22+2y22=4，
由①②，得xp2+2yP2=(x1+2x1)2+2(y1+2y2)2
=（x12+2y12）+4（x22+2y22），
∴xP2+2yP2=20，即

xP2

20

+

yP2

10

=1，
由橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|為定值4

5

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查兩線段長為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．