Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，設(shè)S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，且（2-S_n）（1+T_n）=2，n∈N^*．
（1）設(shè)b_n=2-S_n，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)c_n=

1

2

na_n，求集合{（m，k，r）|c_m+c_r=2c_k，m＜k＜r，m，k，r∈N^*}．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，（2-S₁）（1+T₁）=2，
即(2-a1)(1+

1

a1

)=2，解得a₁=1．                   …2分
由（2-S_n）（1+T_n）=2，所以Tn=

2

2-Sn

-1①
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn-1=

2

2-Sn-1

-1②
①-②，得

1

an

=

2

2-Sn

-

2

2-Sn-1

=

2an

(2-Sn)(2-Sn-1)

（n≥2），…4分
即(2-Sn)(2-Sn-1)=2[(2-Sn-1)-(2-Sn)]2，
即bnbn-1=2(bn-1-bn)2，所以

bn

bn-1

+

bn-1

bn

=

5

2

，
因?yàn)閿?shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以數(shù)列{2-S_n}單調(diào)遞減，所以

bn

bn-1

＜1．
所以

bn

bn-1

=

1

2

（n≥2）．
因?yàn)閍₁=1，所以b₁=1≠0，
所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．                         …6分
（2）由（1）知2-Sn=(

1

2

)n-1，所以an=

1

2n-1

，即cn=

n

2n

．
由c_m+c_r=2c_k，得

cm

ck

+

cr

ck

=2（*）
又n≥2時(shí)，

cn+1

cn

=

n+1

2n

＜1，所以數(shù)列{c_n}從第2項(xiàng)開(kāi)始依次遞減．   …8分
（Ⅰ）當(dāng)m≥2時(shí)，若k-m≥2，則

cm

ck

≥

cm

cm+2

=

m 2m

m+2 2m+2

=

4m

m+2

≥2，
（*）式不成立，所以k-m=1，即k=m+1．        …10分
令r=m+1+i（i∈N^*），則cr=

r

2m+1+i

=2ck-cm=

2(m+1)

2m+1

-

m

2m

=

2

2m+1

=

2i+1

2m+1+i

，
所以r=2ⁱ⁺¹，即存在滿足題設(shè)的數(shù)組{（2ⁱ⁺¹-i-1，2ⁱ⁺¹-i，2ⁱ⁺¹）}（i∈N^*）．…13分
（Ⅱ）當(dāng)m=1時(shí)，若k=2，則r不存在；若k=3，則r=4；
若k≥4時(shí)，

c1

ck

≥

c1

c4

=2，（*）式不成立．
綜上所述，所求集合為{（1，3，4），（2ⁱ⁺¹-i-1，2ⁱ⁺¹-i，2ⁱ⁺¹）}（i∈N^*）． …16分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，以及等比數(shù)列的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度較大．