Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點(diǎn)O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：OM∥平面PAB；

（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅲ）當(dāng)三棱錐C﹣PBD的體積等于 時(shí)，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）見(jiàn)證明（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）先證明OM∥PB，再證明OM∥平面PAB; （Ⅱ）先證明BD⊥平面PAC，再證明平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）根據(jù)求出PA的長(zhǎng).

（Ⅰ）

證明：在△PBD中，因?yàn)?/span>O，M分別是BD，PD的中點(diǎn)，

所以OM∥PB．又OM 平面PAB, PB平面PAB，

所以OM∥平面PAB．

（Ⅱ）因?yàn)榈酌?/span>ABCD是菱形，所以BD⊥AC．

因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，

所以BD⊥平面PAC．

又BD平面PBD，

所以平面PBD⊥平面PAC．

（Ⅲ）因?yàn)榈酌?/span>ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，

所以

又 ，三棱錐的高為PA，

所以 ，解得 ．