Question

求下列動圓圓心M的軌跡方程：
（1）與圓C：（x+2﹚²+y²=2內(nèi)切，且過點A（2，0）；
（2）與圓C₁：x²+﹙y-1﹚²=1和圓C₂：x²+﹙y+1²）=4都外切．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)動圓圓心為M（x，y），則|MA|-|MC|=

2

＜|AC|=4，因此點M的軌跡是以A、C為焦點的雙曲線的左支；
（2）設(shè)動圓圓心M（x，y），動圓M與C₁、C₂的切點分別為A、B，則|MC₁|-|AC₁|=|MA|，|MC₂|-|BC₂|=|MB|，從而可得|MC₂|-|MC₁|=2，利用雙曲線的定義，即可求動圓圓心M的軌跡方程．

解答： 解：（1）設(shè)動圓圓心為M（x，y），則
∴|MA|-|MC|=

2

＜|AC|=4
因此點M的軌跡是以A、C為焦點的雙曲線的左支．
其中a=

2

2

，c=2，b=

14

2

其方程是：

x2

1 2

-

y2

7 2

=1（x＜0）；
（2）設(shè)動圓圓心為M（x，y），半徑為r，則
設(shè)動圓圓心M（x，y），動圓M與C₁、C₂的切點分別為A、B，則|MC₁|-|AC₁|=|MA|，|MC₂|-|BC₂|=|MB|．
又∵|MA|=|MB|，
∴|MC₂|-|MC₁|=|BC₂|-|AC₁|=2-1=1，
即|MC₂|-|MC₁|=1，
又∵|C₁C₂|=2，
由雙曲線定義知：動點M的軌跡是以C₁、C₂為焦點，中心在原點的雙曲線的上支．
∵2a=1，2c=2，∴a=

1

2

，c=1，
∴b²=

3

4

．
其方程是：

y2

1 4

-

x2

3 4

=1（y＞0）．

點評：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查雙曲線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．