Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P是平面ABCD外一點(diǎn)，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，PA=AB=BC=2AO=2，BO=

3

．
（1）證明：PA⊥BO；
（2）求二面角A-BP-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明AO⊥BO，BO⊥PO，可得BO⊥平面PAO，即可證明PA⊥BO；
（2）取PB的中點(diǎn)E，連接AE，DE，證明∠AED是二面角A-BP-D的平面角，利用余弦定理，即可求二面角A-BP-D的余弦值．

解答： （1）證明：∵AB=2AO=2，BO=

3

，
∴AB²=AO²+BO²，
∴AO⊥BO，
∵P在平面ABCD的射影O恰在AD上，
∴BO⊥PO，
∵AO∩PO=O，
∴BO⊥平面PAO，
∵PA?平面PAO，
∴PA⊥BO；
（2）解：取PB的中點(diǎn)E，連接AE，DE，
∵PA=2AO=2，∴PO=

3

，
∵BO⊥PO，BO⊥PO，
∴PB=

6

，
∵PD=BD=2

3

∴DE⊥PB，
∵PA=AB=2，∴AO⊥PB，
∴∠AED是二面角A-BP-D的平面角．
∵AE=

10

2

，DE=

42

2

，AD=4，
∴cos∠AED=

10 4 + 42 4 -16

2• 10 2 • 42 2

=-

105

35

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確作出面面角是關(guān)鍵．