Question

已知圓C過原點且與x-y-4=0相切，且圓心C在直線x+y=0上．
（1）求圓的方程；
（2）過點P（2，2）的直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=2，求直線l的方程．

Answer 1

考點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）由題意設(shè)圓心C（a，-a），則C到直線x-y-4=0的距離等于|CO|，由此能求出圓C的方程．
（2）圓心C到直線l的距離d=

r2-( |AB| 2 )2

=1．當(dāng)l的斜率不存在時，l：x=2成立；若l的斜率存在時，設(shè)l：y-2=k（x-2），由d=1，求出k，由此能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）由題意設(shè)圓心C（a，-a），
則C到直線x-y-4=0的距離等于|CO|，
∴d=

|2a-4|

2

=

a2+a2

，解得a=1，
∴其半徑r=

2a2

=

2

∴圓C的方程為（x-1）²+（y+1）²=2．（6分）
（2）由題知，圓心C到直線l的距離d=

r2-( |AB| 2 )2

=1．（8分）
當(dāng)l的斜率不存在時，l：x=2成立，（9分）
若l的斜率存在時，設(shè)l：y-2=k（x-2），
由d=1，得

|3-k|

1+k2

=1，解得k=

4

3

，
∴l(xiāng)：4x-3y-2=0．（11分）
綜上，直線l的方程為x=2或4x-3y-2=0．（12分）

點評：本題考查圓的方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點到直線距離公式的合理運用．