Question

已知

a

=(sinα，sinβ)，

b

=(cos(α-β)，-1)，

c

=(cos(α+β)，2)，α，β≠kπ+

π

2

(k∈Z)．
（1）若

b

∥

c

，求tanα•tanβ的值；
（2）求

a

2+

b

•

c

的值．

Answer 1

分析：（1）由

b

∥

c

，以及兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量平行時(shí)坐標(biāo)滿足的關(guān)系列出關(guān)系式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后根據(jù)α，β的取值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切即可求出tanα•tanβ的值；
（2）先根據(jù)三向量的坐標(biāo)，利用平面向量模的計(jì)算方法及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)所求的式子，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及平方差公式化簡(jiǎn)后，再利用同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系化簡(jiǎn)，可得出所求式子的值．

解答：解：（1）∵

b

=（cos（α-β），-1），

c

=（cos（α+β），2），且

b

∥

c

，
∴2cos（α-β）+cos（α+β）=0，即2（cosαcosβ+sinαsinβ）+cosαcosβ-sinαsinβ=0，
∴3cosαcosβ+sinαsinβ=0，又α，β≠kπ+

π

2

（k∈Z），
∴tanα•tanβ=-3；
（2）∵

a

=（sinα，sinβ），

b

=（cos（α-β），-1），

c

=（cos（α+β），2），
∴

a

2+

b

•

c

=sin²α+sin²β+cos（α-β）cos（α+β）-2
=sin²α+sin²β+cos²αcos²β-sin²αsin²β-2
=sin²α+（1-sin²α）sin²β+cos²αcos²β-2
=sin²α+cos²αsin²β+cos²αcos²β-2
=sin²α+cos²α（sin²β+cos²β）-2
=sin²α+cos²α+2
=1-2
=-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，以及平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．