如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，E是側(cè)棱AA1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：BC1⊥EC；
（Ⅱ）求二面角A-EC-B的余弦值．
考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能證明BC1⊥EC．
（Ⅱ）求出平面AEC的法向量和平面ECD的法向量，利用向量法能示出二面角A-EC-B的余弦值．
解答： （Ⅰ）證明：在正三棱柱中，
以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖．
不妨設(shè)AB=2，則B
3
，0，0
，
C
0，1，0
，C1
0，1，2
，E
0，-1，1
，
∴
BC1
=
-
3
，1，2
，
EC
=
0，2，-1
，
∵
BC1
•
EC
=0+2-2=0．
∴BC1⊥EC．…（5分）
（Ⅱ）解：在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，
由題意知平面AEC的一個(gè)法向量為
n1
=
1，0，0
．
設(shè)平面ECD的法向量為
n2
=
x，y，z
，
易知
BC
=
-
3
，1，0)，
EC
=
0，2，-1
．
由
n2
⊥
BC
n2
⊥
EC
，得
-
3
x+y=0
2y-z=0
，
取x=1得
n2
=
1，
3
，2
3
．
cos＜
n1
，
n2
＞=
1
1×4
=
1
4
，
∴二面角A-EC-B的余弦值是
1
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)Pn（n，Sn）都在函數(shù)f（x）=x2+2x的圖象上．
（1）求a1，a2；并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=
1
anan+1an+2
=k（
1
anan+1
-
1
an+1an+2
），求k，
（3）證明數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＜
1
60
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線x=my+1過橢圓C：
x2
a
+
y2
b
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F2，且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，已知橢圓的離心率為方程2x2+x-1=0的實(shí)根，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，
（1）求證：△F1AB的周長(zhǎng)為定值，并求出定值；
（2）當(dāng)△F1AB的內(nèi)切圓半徑最大時(shí)，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，a1=1，an+2=
an+1+an
2
（n∈N*）
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=nan，求{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在四邊形ABCD中，
AB
=
DC
=（-1，1），
1
|
BA
|
BA
-
1
|
BC
|
BC
=
3
|
CA
|
CA
，則
AB
•
CB
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在四棱錐P-ABCD中，AB∥DC，AB⊥平面PAD，PD=AD，AB=2DC，E是PB的中點(diǎn)．求證：
（1）CE∥平面PAD；
（2）平面PBC⊥平面PAB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A=60°，P是三角形的內(nèi)心，求
AP
•
BC
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-1，設(shè)bn=（
1
2
）n，求{an•bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，以摩天輪中心為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系，動(dòng)點(diǎn)初始位于點(diǎn)P0（4，-3）處，現(xiàn)將其繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°角到達(dá)點(diǎn)P處，則此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為
 
．

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