Question

如圖，點(diǎn)A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B（-

3

5

，

4

5

），∠AOB=α，

π

2

＜α＜π，|

OP

|=1，∠AOP=θ，0＜θ＜

π

2

．
（1）若cos（α-θ）=-

16

65

，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若四邊形OAQP為平行四邊形且面積為S，求S+

OA

•

OQ

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），由題意可得cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

．由cos（α-θ）=-

16

65

，可得sin（α-θ）=

63

65

，求得m=cosθ=cos[α-（α-θ）]、以及sinθ=sin[α-（α-θ）]=sinαcos（α-θ）-cosαsin（α-θ）的值，從而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）利用數(shù)量積的定義，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，計(jì)算即可．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），由點(diǎn)B(-

3

5

，

4

5

)，∠AOB=α，可知cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

．
又|

OP

|=1，∠AOP=θ，0＜θ＜

π

2

，∴m=cosθ，n=sinθ．
∵cos（α-θ）=-

16

65

，∴sin（α-θ）=

63

65

，
于是由可得m=cosθ=cos[α-（α-θ）]=cosαcos（α-θ）+sinαsin（α-θ）=-

3

5

×（-

16

65

）+

4

5

×

63

65

=

12

13

，
sinθ=sin[α-（α-θ）]=sinαcos（α-θ）-cosαsin（α-θ）=

4

5

×(-

16

65

)-(-

3

5

)×

63

65

=

5

13

，
因|

OP

|=1，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（

12

13

，

5

13

）． 
（2）由已知可得A（1，0），P（cosθ，sinθ），

OP

=(cosθ，sinθ)，
因?yàn)槠叫兴倪呅�，�?span id="qbkydnm" class="MathJye">

OQ

=

OA

+

OP

=(1+cosθ，sinθ)，
∵S=sinθ，∴S+

OA

•

OQ

=sinθ+1+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

）+1，
∵0＜θ＜

π

2

，故

2

sin（θ+

π

4

）+1 的最大值為

2

+1，
即S+

OA

•

OQ

的最大值為

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用以及兩角和差的正切公式，以及向量和三角函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．